Контрольная работа по математике №1 «ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО»

Контрольная работа по математике за 1 семестр Вариант 4 ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО 1. Вычислить предел ex - e-x lim x0 x ln 2 Решение. ex- e-x 0 ex1 x 1x 1 x 2x lim e-x 1 x lim lim 8 x0 x 0 x x x0 x x0 x ln 1 ln 2 Ответ 2. Найти асимптоты функции x y x 2x - 1 Решение.

Данная функция определена для 1 1 2x 1 0 x - U . 2 2 x 1 Так как lim x то прямая x является вертикальной x0,5 0 2x 1 2 асимптотой. Горизонтальных асимптот график функции не имеет, так как x x lim x и lim x x 2x - 1 x- 2x - 1 Определим, существуют ли наклонные асимптоты x x f x 2x 1 1 k lim lim lim 1 1 x x x x x 2x - 1 Заметим сразу, что lim 1 1. x- 2x -1 x x 1 b lim fx kx lim x x lim . x x 2x 1 x 2x 1 2 x 1

Также b lim . x- 2x 1 Таким образом, график функции имеет наклонную асимптоту y x . 1 Ответ x - вертикальная асимптота, горизонтальных асимптот нет, 2 1 y x - наклонная асимптота. 3. Определить глобальные экстремумы f x x ln x, при x1, e Решение. Данная функция определена для x1, e. Находим производную x f x x ln x 2xlnx 2xlnx x и критические точки x 2xlnx x 0 x1 0 или x2 e-0,5. Т.к. x1,x2 1, e, то вычислим значения функций на концах данного

интервала f 1 0, f e e2. Среди функций находим наибольшее и наименьшее inf f x 0 1, 1, e sup f x e2 e. 1, e Ответ f 1 0 т. глобального минимума, f e e2 т. глобального максимума. 4. Исследовать на монотонность, найти локальные экстремумы и построить эскиз графика функции f x x3 x 22 Область определения функции вся числовая ось. D f x Вычислим первую производную и исследуем ее знаки fx 3x2x22 2x3x2 и определяем критические точки

f x 0 при 6 x1 0, x2 -2 или x5 Исследуем знак первой производной до и после критической точки. f x -2 -1,2 0 x f x f x 0 для x - -2 U -1,2 функция возрастает f x 0 для x -2 -1,2 функция убывает. В точках x -2, x -1,2 и x 0 производная f x 0, но в окрестностях точек x -2 и x -1,2 она меняет знак, поэтому в этих точках функция имеет экстремумы. Вычислим значения f -2 0 т. максимума, f -1,2 -1,1059 т. минимума. В окрестности точки x 0 производная f x не изменяет знака, следовательно, точка x 0 не

является точкой экстремума функции. Ответ x - -2 U -1,2 функция возрастает x -2 -1,2 функция убывает f -2 0 т. максимума, f -1,2 -1,1059 т. минимума 5. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции f x x3 3x1 Решение. D f x Находим производные f x 3x2 6x f x 6x 6. Приравняв к нулю вторую производную, получим критическую точку

II рода 6x 6 0 x 1. Исследуем знак второй производной в окрестности этой точки f x 1 x Следовательно, для x - 1 f x 0 и график функции выпуклый вверх, а для x 1 f x 0 выпуклый вниз. Таким образом, при переходе через точку x 1 f x меняет знак. Значит, точка M 1 -1 точка перегиба графика данной функции. Ответ x - 1 график функции выпуклый вверх x 1 график функции выпуклый вниз

M 1 -1 точка перегиба функции. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Провести полное исследование свойств и построить эскиз графика функции x3 f x x3 Решение. 1. D f x -x3 x3 2. f -x -x2 2 - x3 Функция не является четной или нечетной. 3. Вертикальных асимптот нет, так как нет точек разрыва. 4. Горизонтальных асимптот функция не имеет, т.к. x3 x3 lim x2 2 и lim x2 2 x 3 x-

3 Определим, существуют ли наклонные асимптоты x3 x2 2 f x 3 x2 2 k lim lim lim x x x x x x 3 x x2 Заметим сразу, что lim x x- 3 x Таким образом, график функции не имеет наклонных асимптот. 5. Вычислим первую производную f x x2 2x и определяем критические точки x1 0, x2 -2. Исследуем знак первой производной до и после критической точки. f x -2 0 x f x f x 0 для x - -2 U 0 функция возрастает f x 0 для x -2 0 функция убывает.

В точках x -2 и x 0 производная f x 0 и в окрестностях этих точек она меняет знак, поэтому в этих точках функция имеет экстремумы. 1 Вычислим значения f -2 3 т. максимума, f 0 2 т. минимума. 6. Находим вторую производную f x 2x2 Приравняв к нулю вторую производную, получим критическую точку II рода 2x 2 0 x -1. Исследуем знак второй производной в окрестности этой точки f x -1 x Следовательно, для x - -1 f x 0 и график функции выпуклый вверх, а для x -1 f x 0 выпуклый вниз.

Т.о при переходе через точку x -1 f x меняет знак. 2 Значит, точка M -1 2 точка перегиба графика данной функции. 7. Точки пересечения с осями координат если x 0, то f x 2 если f x 0, то x -3,8. Результаты этих исследований наносим на график. 2. Найти локальные экстремумы функции f x, y 2x3 xy2 5x2 y2

Решение. Находим частные производные первого порядка f x x, y 6x2 y2 10x f y x, y - 2xy 2y. Решая систему 6 x2 y2 10 x 0 2xy 2y 0, 5 находим стационарные точки M1 0 0, M2 - 0, M3 1 4, M4 1 - 3 Находим вторые частные производные f xx x y 12x 10 f xy x y - 2y f yy x y - 2x 2. Для каждой стационарной точки вычисляем соответствующее значение дискриминанта 1 M1 0 0 A1 10 B1 0 C1 2 1 A1 C1 B21 1 20 0, A1 0 в точке

M1 0 0 функция имеет минимум fmin x y 0 5 1 160 2 M2 - 0 A2 - 10 B2 0 C2 5 2 - 0 экстремума нет 3 3 3 3 M3 1 4 A3 22 B3 -8 C3 0 3 -64 0 экстремума нет 4 M4 1 - 4 A4 22 B4 8 C4 0 4 -64 0 экстремума нет. Ответ fmin 0 0 0 т. минимума. 3. Определить экстремумы функции x2 y2 f x y e , если x y 1

Решение. Т.к. x y 1, то x 1 y. 1 2y y2 y2 1 2y 2y2 F y e e Вычислим первую производную 1 2y 2y2 F y -2 4y e и определяем критические точки y 0, 5 x 0, 5. M 0, 5 0, 5 критическая точка. Вычислим вторую производную 1 2y 2y2 1 2y 2y2 F y 4 e -2 4y2 e . F 0, 5 4e 0, 0 Ответ M 0, 5 0, 5 e0, 5 т. минимума. Интегральное исчисление функции одного переменного 1-3.

Найти неопределенный интеграл dx dx dx 2 v7 2v7 x - v7 1 arctg C. x x2 - 2 x2 - x 2 x 0, 52 1, 75 7 7 t arcsin vx arcsinvx dx 2. dx dt 2t dt t2 C arcsin2 vx C. vx1- x 2vx1- x u x cos3x dx dv 1 1 1 3. x cos3x dx 1 x sin3x - sin3x dx x sin3x du dx v sin 3x. 3 3 3 3 1 cos3x C. 4. Вычислить 1 ex dx 1 1 ex dx 1 d1 ex 1 ln 1 ex ln 1 e ln 2 0 1 ex 0 1 ex 0 1 ex 0 1 e ln . 5. Определить длину кривой, описываемой графиком функции 4 y vx3 ,

0 x 3 43 43 8 43 56 L v 1 y 2 dx v 1 1, 5x0,52 dx 1 2, 25 x1,5 . 0 0 27 0 27 2 Ответ L 2 . 27