зно математика 2007 с ответами

МАТЕМАТИКА

ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ 2007 РОКУ З ВІДПОВІДЯМИ ТА КОМЕНТАРЯМИ

Тест зовнішнього незалежного оцінювання з математики перевіряє:

· відповідність знань, умінь і навичок учнів програмовим вимогам;

· рівень навчальних досягнень учнів;

· ступінь підготовленості випускників загальноосвітніх навчальних

закладів до подальшого навчання у вищих навчальних закладах.

При укладанні тесту були використані підручники та посібники, рекомендовані Міністерством освіти і науки України для класів універсального, природничого, фізико-математичного профілів, а також для класів, шкіл, ліцеїв і гімназій математичного профілю та для спеціалізованих шкіл і класів з поглибленим вивченням математики.

Частина 1

ЗАВДАННЯ З ВИБОРОМ ОДНІЄЇ ПРАВИЛЬНОЇ ВІДПОВІДІ

Розташуйте у порядку спадання числа ; ; .

А	Б	В	Г	Д
; ;	; ;	;;	; ;	;;

Правильна відповідь: А.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Дійсні числа. Порівняння чисел. Основна логарифмічна тотожність.

Банк сплачує своїм вкладникам 8% річних. Визначте, скільки грошей треба покласти на рахунок, щоб через рік отримати 60 грн. прибутку.

Правильна відповідь: Д.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Задачі на відсотки.

З натуральних чисел від 1 до 30 учень навмання називає одне. Яка ймовірність того, що це число є дільником числа 30?

А	Б	В	Г	Д

Правильна відповідь: В.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Поняття ймовірності випадкової події.

Розв’яжіть нерівність

А	Б	В	Г	Д

Правильна відповідь : Д.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Дробово-раціональні нерівності.

Знайдіть область визначення функції .

А	Б	В	Г	Д

Правильна відповідь : Г.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Властивості елементарних функцій: область визначення.

Будівельна компанія закупила для нового будинку металопластикові вікна та двері у відношенні 4:1. Укажіть число, яким може виражатися загальна кількість вікон та дверей в цьому будинку.

Правильна відповідь : Б.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Застосування ознак подільності чисел до розв’язування задач.

Обчисліть .

А	Б	В	Г	Д
1				2

Правильна відповідь : Д.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Тотожні перетворення і знаходження значень виразів, що містять тригонометричні функції.

Розв’яжіть рівняння tg=

А	Б	В	Г	Д
	+			інша відповідь

Правильна відповідь : Г.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Розв’язування найпростіших тригонометричних рівнянь.

9.
За видом графіка функції у
= кх
+ b
визначте знаки коефіцієнтів к
і b
.
Оберіть правильне твердження.

А	Б	В	Г	Д

Правильна відповідь : Г.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Лінійна функція та її властивості.

Укажіть парну функцію.

А	Б	В	Г	Д

Правильна відповідь : Д.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Властивості елементарних функцій: парність.

Обчисліть

А	Б	В	Г	Д

Правильна відповідь : А.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням:
Властивості логарифма.

Розв’яжіть нерівність .

А	Б	В	Г	Д
	(0; 10)	(0,1; 10)	(−10; 0)

Правильна відповідь : Б.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням:
Розв’язування найпростіших логарифмічних нерівностей, використовуючи властивості логарифмічної функції.

Розв’яжіть рівняння

А	Б	В	Г	Д

Правильна відповідь : Г.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням:
Розв’язування найпростіших показникових рівнянь.

Укажіть, скільки дійсних коренів має рівняння .

Правильна відповідь : В.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням:
Розв’язування рівнянь з модулем.

Знайдіть первісну функції , графік якої проходить через точку з координатами (1;4).

А	Б	В	Г	Д

Правильна відповідь : Б.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням:
Первісна. Основна властивість первісної. Правила знаходження первісних.

16.
На рисунку зображений графік функції та дотичні до нього в точках та . Користуючись геометричним змістом похідної, знайдіть .

А	Б	В	Г	Д
1

Правильна відповідь : А.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням:
Геометричний зміст похідної.

Градусна міра зовнішнього кута А
рівнобедреного трикутника АВС (АВ = ВС)
становить . Знайдіть градусну міру внутрішнього кута В
.

Правильна відповідь : Д.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням:
Властивість рівнобедреного трикутника. Сума кутів трикутника. Градусна міра кута.

Точка М
– середина сторони квадрата АВС
D
. Площа зафарбованої частини дорівнює 7 . Знайдіть площу всього квадрата.

А	Б	В	Г	Д
14	21	28	35	42

Правильна відповідь : В.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням:
Властивості квадрата. Площі рівних фігур.

Знайдіть координати точки М
, відносно якої симетричні точки і .

А	Б	В	Г	Д
				інша відповідь

Правильна відповідь : А.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням:
Координати точки та симетрія відносно точки у просторі.

Знайдіть об’єм тіла, утвореного обертанням круга навколо свого діаметра, довжина якого дорівнює а см
.

А	Б	В	Г	Д

Правильна відповідь : Г.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням:
Знаходження об’єму тіла обертання.

Частина 2

ЗАВДАННЯ ВІДКРИТОЇ ФОРМИ З КОРОТКОЮ ВІДПОВІДДЮ

Обчисліть

Правильна відповідь : .

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням:
Дії над ірраціональними числами.

Знайдіть суму перших дванадцяти непарних натуральних чисел.

Правильна відповідь : 144.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням:
Сума членів арифметичної прогресії.

Укажіть найменше ціле число, яке є розв’язком нерівності

Правильна відповідь : .

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням:
Розв’язування раціональних нерівностей методом інтервалів.

На перегоні, довжина якого дорівнює , поїзд рухався зі швидкістю на

10 менше, ніж мала бути за розкладом, і запізнився на 48 . З якою швидкістю мав рухатися поїзд за розкладом?

Правильна відповідь : 60

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Розв’язування текстових задач за допомогою рівняння або системи рівнянь.

Обчисліть

Правильна відповідь : 0,5

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Тотожні перетворення і знаходження значень тригонометричних виразів.

Розв’яжіть рівняння . У відповідь запишіть суму коренів.

Правильна відповідь : 11 (або 8).

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Розв’язування ірраціональних рівнянь.

Примітка.

Враховуючи, що чинні підручники з математики для загальноосвітніх навчальних закладів по-різному тлумачать ситуацію, коли рівняння мають кратні корені, відповідь 8 також є правильною.

Розв’язання.

Знайдемо область визначення:

Рівняння рівносильне сукупності рівнянь:

звідси:

Рівняння має чотири корені, з яких два рівні між собою. Корінь не входить в область визначення. Тому 3+3+5=11.

Розв’яжіть систему рівнянь

Запишіть у відповідь добуток , якщо пара є розв’язком вказаної системи рівнянь.

Правильна відповідь :

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Розв’язування систем рівнянь, у яких одне рівняння показникове, а інше ─ логарифмічне.

Середній вік одинадцяти футболістів команди становить 22 роки. Під час гри одного з футболістів було вилучено з поля, після чого середній вік гравців, що залишилися, став 21 рік. Скільки років футболісту, який залишив поле?

Правильна відповідь : 32.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Статистичні характеристики рядів даних: середнє значення випадкової величини.

Обчисліть

Правильна відповідь : 4.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Тотожні перетворення логарифмічних виразів.

Знайдіть найбільше ціле значення параметра а
, при якому система рівнянь має два розв’язки.

Правильна відповідь : 1.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Розв’язування систем рівнянь з параметрами графічно.

Знайдіть найбільше значення функції на проміжку .

Правильна відповідь : 2.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Дослідження функції за допомогою похідної.

Знайдіть найменше ціле значення параметра а
, при якому рівняння має корені.

Правильна відповідь :

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Розв’язування рівнянь з параметрами.

Сторона рівностороннього трикутника АВС
дорівнює 5 см. Знайдіть скалярний

добуток .

Правильна відповідь : 12,5.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Скалярний добуток векторів.

Для опалювальної системи будинку необхідні радіатори із розрахунку: три одиниці на 50м³
. Яку кількість одиниць радіаторів треба замовити, якщо новий будинок має форму прямокутного паралелепіпеда розміру 15м×18м×25м?

Правильна відповідь : 405.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Задачі прикладного змісту на знаходження об’єму фігур: об’єм прямокутного паралелепіпеда.

35
. Апофема правильної чотирикутної піраміди дорівнює 2см
і нахилена під кутом до площини основи. Знайдіть об’єм піраміди.

Правильна відповідь : 12 .

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Знаходження об’єму фігури, використовуючи теореми планіметрії: об’єм піраміди.

Частина 3

ЗАВДАННЯ ВІДКРИТОЇ ФОРМИ З РОЗГОРНУТОЮ ВІДПОВІДДЮ

36.
У правильній чотирикутній піраміді SABCD (
S
– вершина) бічне ребро вдвічі більше сторони основи. Знайдіть кут між медіаною трикутника SDC
, проведеною з вершини D
, та середньою лінією трикутника ASC
, що паралельна основі піраміди.

Правильна відповідь :
.

Розв’язання
(авторський варіант)

Нехай SABCD
– задана правильна піраміда, в основі якої лежить квадрат ABCD,
і SO
її висота. Позначимо сторону основи АВ
через а
, тоді бічне ребро SA
= 2a
.

У трикутнику SDC
з вершини D
проведемо медіану DN,
N
– середина ребра SC
. У трикутнику ASC
проведемо середню лінію, паралельну AC
. Вона перетинає ребра SA
та SC
у точках М
та N
відповідно, AM =
MS
та SN =
NC
(за означенням середньої лінії). Оскільки АС
лежить у площині ABC
і MN
|| AC
, то MN
|| (ABC
). Прямі MN
та ND
перетинаються в точці N
, тому кут MND
є шуканим кутом між медіаною DN
трикутника SDC
і середньою лінією MN
трикутника ASC
. Позначимо .

Діагональ АС
квадрата АВС
D
дорівнює , тому середня лінія MN
= .

Висота SO
піраміди перетинає MN
в точці L
. Оскільки трикутники ASC
і SMN
є рівнобедреними, то АО = ОС
і ML =
LN
= .

З прямокутного трикутника .

За теоремою Фалеса SL =
LO
= SO
= .

З прямокутного трикутника .

Трикутник DNM
рівнобедрений, оскільки DM =
DN
як медіани рівних трикутників SAD
та SCD
. Медіана DL
є висотою. Отже, трикутник DLN
є прямокутним.

З трикутника DLN
маємо:

.

Відповідь.
.

Схема оцінювання

1. За правильно побудований рисунок до задачі з обґрунтуванням паралельності відповідної середньої лінії до основи учень одержує 1 бал
.

2. За обгрунтування рівності двох сторін трикутника MND (
DM=
DN)
учень одержує ще 1 бал
.

3. Якщо учень правильно знайшов елементи трикутника DLN
, необхідні для знаходження кута , він одержує ще 1 бал
.

4. За правильну відповідь учень одержує ще 1 бал
.

Таким чином, за правильно розв’язану задачу учень одержує 4 бали
.

· Якщо учень не з’єднує точки М
і Д
на рисунку, а розглядає кут як кут трикутника DLN,
то в цьому випадку треба обґрунтувати, що трикутник DLN –
прямокутний.
Тоді має місце така схема оцінювання
:

1. За правильно побудований рисунок до задачі з обґрунтуванням паралельності відповідної середньої лінії до основи учень одержує 1 бал
.

2. За обґрунтування того, що учень одержує ще 1 бал
.

3. Якщо учень правильно знайшов елементи трикутника DLN
, необхідні для знаходження кута , він одержує ще 1 бал
.

4. За правильну відповідь учень одержує ще 1 бал
.

Таким чином, за правильно розв’язану задачу учень одержує 4 бали
.

· Якщо учень для розв’язування задачі використав векторно-координатний метод, то тоді має місце така схема оцінювання
:

1. За правильне обґрунтування висоти SO
учень одержує 1 бал
.

2. За вибір системи координат з поясненням необхідних точок учень одержує ще 1 бал
.

3. За обчислення координат цих точок учень одержує ще 1 бал
.

4. За правильну відповідь учень одержує ще 1 бал
.

Таким чином, за правильно розв’язану задачу учень одержує 4 бали
.

37. Побудуйте графік функції .

Розв’язання

Знаходимо область визначення функції, тобто розв’язуємо нерівність Отже, .

Знайдемо точки, у яких модуль обертається в нуль, тобто розв’яжемо рівняння , звідки .

Якщо , то .

Якщо , то .

Побудуємо ескіз графіка вказаної функції.

Схема оцінювання

1. За правильно знайдене учень одержує 1 бал
.

2. Якщо учень правильно розкрив модуль на проміжку , то він одержує 1 бал
.

3. Якщо учень правильно розкрив модуль на проміжку , то він одержує ще 1 бал
.

4. За правильно побудований ескіз графіка вказаної функції учень одержує ще 1 бал
.

Тобто за правильно розв’язане завдання учень одержує 4 бали
.

38. Розв’яжіть нерівність
.

Правильна відповідь: при ;

при ;

при .

Розв’язання

Визначимо область допустимих значень параметра а
: .

Дана нерівність еквівалентна наступній сукупності систем нерівностей:

Розв’яжемо спочатку першу систему.

Розглянемо нерівність .

.

1. Якщо , то розв’язком першої нерівності даної системи буде . Тоді розв’язком нерівності буде при <<1. Тобто, розв’язок першої системи матиме вигляд при <<1.


2. Якщо то розв’язком нерівності буде , а нерівність не має розв’язків. Отже, перша система не має розв’язків.

Розв’яжемо другу систему.

Розглянемо нерівність .

Ураховуючи розв’язання попередньої системи, .

1. Якщо , то нерівність не має розв’язків. Отже, друга система не має розв’язків.

2. Якщо то розв’язком нерівності буде . Тоді розв’язком нерівності буде . Тобто розв’язок другої системи матиме вигляд .

3. Якщо , то одержимо нерівність , звідси .

Отже, загальна відповідь: при ;

при ;

при .

Схема оцінювання

1. Якщо учень правильно знайшов область допустимих значень параметра а
   і розглянув нерівність як сукупність двох систем, то він одержує 1 бал
   .


2. За правильно розв’язану першу систему нерівностей учень одержує ще 2 бали
   . Якщо він припустився помилки при розв’язанні однєї з нерівностей при умові, що друга нерівність розв’язана правильно, учень одержує 1 бал
   .


3. За правильно розв’язану другу систему нерівностей учень одержує ще 2 бали
   . Якщо він припустився помилки при розв’язанні однєї з нерівностей при умові, що друга нерівність розв’язана правильно, учень одержує 1 бал
   .


4. За правильно записану відповідь учень одержує ще 1 бал
   .

Тобто за правильно розв’язану задачу учень одержує 6 балів
.

· Якщо учень розв’язує нерівність методом інтервалів
,
то в цьому випадку має місце така схема оцінювання:

1. За правильно знайдене ОДЗ змінної і параметра учень одержує 1 бал
   .


2. За правильно знайдені нулі функції ) з вказівкою відповідних значень параметра учень одержує 2 бали
   .

Якщо знайдені нулі тільки одного множника з вказівкою відповідних значень параметра, то учень одержує лише 1 бал
.

За правильне застосування методу інтервалів на кожному з виділених проміжків для параметра а
учень одержує 2 бали
.

Якщо учень розглянув один з випадків або , то він одержує лише 1 бал
.

За правильно записану відповідь учень одержує ще 1 бал
.

Тобто за правильно розв’язану задачу учень одержує 6 балів
.

· Якщо учень розв’язує нерівність методом розбиття усіх значень а на три випадки:

, а=
1, ,
то в цьому випадку має місце така схема оцінювання:

1. Якщо учень дослідив випадок і одержав відповідь, то він одержує1 бал.
   


2. Якщо учень дослідив випадок і одержав відповідь, то він одержує2 бали.
   


3. Якщо учень дослідив випадок і одержав відповідь, то він одержує2 бали.
   


4. За правильно записану відповідь учень одержує ще 1 бал
   .

Тобто за правильно розв’язану задачу учень одержує 6 балів
.