Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет. Кафедра сопротивления материалов и теории упругости. Расчетно-проектировочная работа Плоская задача теории упругости Выполнил: Студент гр. 163 А. В. Троханов Проверила: Т. П. Виноградова Н. Новгород 2002 г.
Из тела находящегося в плоском напряженном состоянии, выделена пластина, толщина которой 1 см, размеры в плане 20х20 см. Схема закрепления пластины. Задаваясь функцией напряжений, общий вид которой Ф (х, у)=а1х3у+а2х3+а3х2у+а4х2+а5ху+а6у2+а7ху2+а8у3+а9ху3
Принять два коэффициента функции согласно таблиц 1 и 2, остальные шесть коэффициентов принять равными нулю. В этих же таблицах даны значения модуля упругости Е и коэффициента Пуассона для материала пластины. Найти общие выражения для напряжений sх, sу, tху(объемные силы не учитывать) и построить эпюры этих напряжений для контура пластины.
Определить выражения для перемещений U и V. Показать графически(на миллиметровке) перемещение пластины в результате деформирования, определив компоненты перемещений U и V в девяти точках, указанных на схеме. Для наглядности изображения для перемещений выбрать более крупный масштаб, чем масштаб длин. Значение U и V свести в таблицу. Расчет. Дано: а3=1/3, а4= 1 Е=0, 69*106 кг/см2 n=0, 33 Решение:
1. Проверим, удовлетворяет ли функция напряжений бигармоническому уравнению. Ф(х, у)= Поскольку производные -бигармоническое уравнение удовлетворяется.
2. Определяем компоненты по формулам Эри, принимая объемные силы равными нулю. sх= sу= tху=
3. Строим эпюры напряжений для контура пластины согласно полученным аналитическим напряжениям. 4. Проверяем равновесие пластины Уравненения равновесия: Sх=0 -Т5+Т6=0 > 0=0 Sy=0 Т4+Т3+Т2-Т1-N2+N1=0 > 0=0 SM=0 M (T4T3)=-M(T2T1) > 0=0 удовлетворяется, т. е. пластина находится в равновесии.
5. Для точки А с координатами (5, -5) найти величины главных напряжений и положение главных осей для точки А.
В этой точке напряжения в основных площадках. sх=0, sу=-1, 33, tху=3, 33, Найдем главное напряжение по формуле: =-0, 665±3, 396 кгс/см2 smax=sI=2, 731 МПа smin=sII= -4, 061 МПа Находим направление главных осей. aI=39, 36o aII=-50, 64o 6. Определяем компоненты деформации 7. Находим компоненты перемещений Интегрируем полученные выражения j(у), y(х) –некоторые функции интегрирования или После интегрирования получим где с1 и с2 – постоянные интегрирования
С учетом получения выражений для j(у) и y(х) компоненты перемещений имеет вид
Постоянные с1, с2, и с определяем из условий закрепления пластины: 1) v =0 или 2) v =0 или 3) u =0 или Окончательные выражения для функций перемещений u и v
Покажем деформированное состояние пластины определив для этого перемещение в 9-ти точках. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 координаты Х(см) -10 0 10 10 10 0 -10 -10 0 У(см) 10 10 10 0 -10 -10 -10 0 0 V*10-4 3, 8 0, 77 0, 58 -0, 19 0 0, 19 3, 2 3, 1 0 U*10-4 -3, 1 -3, 5 -3, 9 -1, 9 0 -0, 23 -0, 45 -1, 8 -1, 9 Масштаб длин: в 1см – 2см перемещений: в 1см - 1*10-4см