В логике существуют различные способы проверки правильности умозаключений.
Один из них – с использованием кругов Эйлера. Данное умозаключение вначале записывают на теоретико-множественном языке и изображают посылки на кругах Эйлера.
Словесная формулировка
Запись на теоретико-множественном языке
Изображение на кругах Эйлера
Всякое А есть В
А Ì В
А
В
Некоторые А есть В
А Ç В ¹ Æ
А В
Некоторые А не есть В
А Ç В ¹ Æ
А В
Ни одно А не есть В
А Ç В = Æ
А В
а есть А
а Î А
А
а не есть А
а Ï А
А
· а
Изображая посылки на кругах Эйлера, считают их истинными. После этого выясняют, всегда ли при таких посылках истинно заключение. Если всегда – умозаключение правильное; если же возможен рисунок, из которого видно, что заключение может быть ложным, то умозаключение неправильное.
В
Пример 1. Все числа, делящиеся на 10, делятся на 5. Число 140 делится на 10. Следовательно, число 140 делится на 5.
А
Запишем данное умозаключение на теоретико-множественном языке, для чего обозначим через А множество чисел, делящихся на 10, через В множество чисел, делящихся на 5. Тогда умозаключение можно записать в виде: . Изобразив посылки на кругах Эйлера, видим, что в этом случае а Î В, т.е. умозаключение построено правильно.
Пример 2. Все числа, делящиеся на 10, делятся на 5. Число 47 не делится на 10. Следовательно, число 47 не делится на 5. На теоретико-множественном языке умозаключение
А
В
А
· а
В
примет вид: . Изобразим посылки на кругах Эйлера и посмотрим, обязательно ли а Ï В. По первому рисунку видно, что возможен случай, когда а Î В. Следовательно, заключение логически не следует из посылок, т.е. умозаключение построено неправильно.
Второй способ связан с применение таблиц истинности.
Пример. Если Иванов является участником этого преступления, то он знал потерпевшего. ылки на кругах Эйлера и посмотрим, обязательно ли делится на 5. еправльное. осылки на кругах Эйлера. к их еще называют, схемИванов не знал потерпевшего, но знал его жену. Потерпевший знал Иванова. Следовательно, Иванов является участником преступления.
Введем обозначения:
р – Иванов является участником этого преступления;
q – Иванов знал потерпевшего;
r – Иванов знал жену потерпевшего;
s – потерпевший знал Иванова.
Запишем рассуждение схематически: . Этому рассуждению соответствует формула (p ® q) Ù (Ù r) Ù s ® p. Если эта формула является тождественно истинной, то рассуждение является правильным, если нет – неправильным. Составим таблицу истинности.
p
q
r
s
p ® q
Ù r
(p ® q) Ù (Ù r) Ù s
(p ® q) Ù (Ù r) Ù s ® p
И
И
И
И
И
Л
Л
Л
И
И
И
И
Л
И
Л
Л
Л
И
И
И
Л
И
И
Л
Л
Л
И
И
Л
И
И
Л
И
И
Л
И
Л
И
И
И
И
Л
Л
Л
И
И
И
Л
Л
И
Л
Л
Л
И
И
Л
Л
И
Л
И
Л
Л
И
И
Л
И
Л
Л
И
И
Л
И
Л
Л
И
И
И
И
И
И
Л
Л
И
Л
И
И
Л
Л
Л
И
Л
И
И
Л
И
Л
Л
Л
И
Л
Л
Л
И
И
И
Л
Л
И
Л
Л
И
Л
И
И
И
Л
И
Л
И
Л
Л
И
Л
Л
Л
И
И
Л
Л
Л
Л
И
Л
Л
И
Л
Л
Л
Л
И
И
Л
Л
И
Из таблицы видно, что формула не является тождественно истинной, следовательно нет основания считать рассматриваемое рассуждение правильным.
Третий способ. Принимается, что истинностное значение заключения ложно, а каждая из посылок истинная. Анализируется, что получится из необходимого для этого приписывания истинностных значений для простых компонентов. Такой анализ приводит либо к противоречию, доказывающему, что заключение есть логическое следствие из всех посылок, либо к приписыванию для каждого из простых компонентов такого истинностного значения, что все допущения будут удовлетворяться: последнее подтверждает, что это рассуждение не логично.
Пусть в нашем примере импликация ложна. Это возможно, если посылка истинна, а заключение ложно; следовательно, каждый член конъюнкции имеет истинное значение: (p ® q) Ù (Ù r) Ù s ® p.
и и и л
Т.к. Ù r принимает истинное значение, то – истинно, r – истинно. Если – истинно, то q – ложно; в этом случае импликация p ® q принимает истинное значение, т.к. из лжи следует ложь. Получаем, что если p принимает значение ложь, q – ложь, r – истина, s – истина, то наше допущение выполняется (противоречия нет) и исходное рассуждение не логично.
Математические софизмы
В математике давно заметили, что использование схем, не гарантирующих истинность заключения, приводят к неверному выводу, лонному заключению. Математики стали умышленно придумывать неправильные рассуждения, имеющие видимость правильных.
Софизмом называется умышленно ложное умозаключение, которое имеет видимость правильного. Каков бы ни был софизм, он обязательно содержит одну или несколько замаскированных ошибок. Особенно часто в математических софизмах выполняются «запрещенные» действия или не учитываются условия применения теорем, формул и правил. Иногда рассуждения ведутся с использованием ошибочного чертежа или опираются на приводящие к ошибочным заключениям «очевидности».
В истории развития математики софизмы играли существенную роль. Они способствовали повышению строгости математических рассуждений и содействовали более глубокому уяснению понятий и методов математики.
Разбор софизмов прежде всего развивает логическое мышление, т.е. прививает навыки правильного мышления. Обнаружить ошибку в софизме – это значит осознать ее, а осознание ошибки предупреждает от повторения ее в других математических рассуждениях.
Пример 1. Докажем, что 5 = 1. Будем рассуждать так: из чисел 5 и 1 по отдельности вычтем одно и тоже число 3. Получим числа 2 и –2. При возведении в квадрат этих чисел получаются равные числа 4 и 4. Значит, должны быть и исходные числа 5 и 1. Необходимо указать, где допущена ошибка. Ошибка в следующем: из равенства квадратов двух чисел не следует, что сами эти числа равны.
Пример 2. Докажем, что спичка вдвое длиннее телеграфного столба. Пусть а – длина спички (дм) и b – длина столба (дм). Разность между b и а обозначим через с. Имеем: b – а = с, b = а + с. Перемножая эти два равенства по частям, находим: b2 – ab = ca+ c2. Вычтем из обеих частей bc. Получим: b2 – ab – bc = ca+ c2 – bc, или b(b– a – c) = – c(b– a – c), откуда b = – с, но b – а = с, поэтому b = а – b, или а = 2b, т.е. спичка вдвое длиннее телеграфного столба. Ошибка состоит в том, что нельзя делить на b– a – c, т.к. b– a – c = 0.