Пусть нам задано поле и линейное пространство над этим полем. Пусть - все обратимые линейные операторы, тогда - группа относительно операции умножения операторов. Пусть - произвольная группа, тогда представление в - это гомоморфизм .
Если и , то . По свойству гомоморфизма имеем и . таким образом, мы получили действие на как на множестве.
Примеры:
1) Рассмотрим группу - группу симметрий тетраэдра - тем самым у нас есть гомоморфизм . Т.е. имеем представление группы . Это пример трехмерного представления группы .
2) Рассмотрим куб и группу вращений (относительно некоторой оси), переводящих его в себя. Возьмем диагонали куба (всего из 4). Каждое вращение переставляет диагонали, т.е. является подстановкой из . Надо доказать, что любая подстановка из реализуется, оставим это в качестве упражнения. Еще надо доказать однозначность, т.е. если диагонали остались на месте (т.е. перестановка единична) , то и все вершины остались на месте (т.е. преобразование единственно), это тоже оставим в качестве упражнения. Таким образом, мы получили еще одно представление группы . Это пример еще одного трехмерного представления.
3) Мы знаем что , при изоморфизме - поворот на угол и - симметрия относительно оси . Получаем представление группы в виде группы симметрий правильного треугольника (это представление двумерно).
4) Вернемся к группе , построим двумерное представление этой группы. Рассмотрим многочлены:
Если , то - перестановка переменных в соответствии с подстановкой . Но как бы мы не переставляли переменные, мы опять получим один из этих многочленов. Т.е. перестановка как-то переставит наши три многочлена. Мы получили гомоморфизм (причем его ядро - это ), также есть гомоморфизм . Из композиция - это гомоморфизм - двумерное представление группы .
5) Рассмотрим группу , укажем бесконечномерное представление этой группы. Возьмем кольцо многочленов . Тогда гомоморфизм по правилу будет преставлением (бесконечномерным) группы .
6) Рассмотрим группу и кольцо многочленов . Пусть , тогда гомоморфизм по правилу будет представлением группы .
Пусть и . Представления и называются эквивалентными, если существует такое биективное линейное отображение , что и имеем .
На языке матриц (в случае ) это означает следующее:
Пусть - базис в , - матрица в базисе , - матрица в базисе , - матрица в базисе . Тогда условие эквивалентности представлений перепишется в виде: , т.е. . Т.е. и - это матрицы одного и того же оператора в базисах и . Отсюда, в частности, вытекает, что .
Рассмотрим снова группу и два ее двумерных представления:
и .
Упражнение. Если (характеристика поля), то эти представления эквивалентны. А если , то не эквивалентны.
В дальнейшем будем считать, что поле - это поле вещественных или комплексных чисел.
Теорема. Любое конечномерное вещественное (комплексное) представление конечной группы эквивалентно ортогональному (унитарному).
Доказательство.
Возьмем произвольный базис и зададим скалярное произведение: если и , то . Введем еще одно скалярное произведение . Докажем, что это действительно скалярное произведение: . Если , то , следовательно . Т.е. это действительно будет скалярным произведением.
Пусть , тогда . Следовательно любой оператор сохраняет скалярное произведение и является ортогональным (унитарным).
Следствие. Если подпространство инвариантно относительно всех операторов , где , то , где подпространство также инвариантно относительно всех операторов .
Определение. Пусть и , , тогда представление , такое что , называется прямой суммой представлений и . А представления и называются подпредставлениями в .
Из курса линейной алгебры мы знаем, что если - инвариантное подпространство , то матрица любого оператора имеет вид . А если , то .ъ
Определение. Представление неприводимо, если в нет нетривиальных (отличных от нуля и самого пространства) инвариантных подпространств. Представление вполне приводимо, если оно является прямой суммой неприводимых.
Теорема Машке. Любое конечномерное вещественное (комплексное) представление конечной группы вполне приводимо.
Доказательство.
Пусть , - инвариантное подпространство минимальной ненулевой размерности, тогда , тоже инвариантно относительно , тогда наше представление разложится в прямую сумму неприводимого () и подпредставления меньшей размерности. Далее можно применить индукцию по размерности представления.
Пример неприводимого представления:
. Докажем, что это представление неприводимо, как вещественное. Допустим, что оно приводится, т.е. существует инвариантное подпространство, т.е. по теореме Машке оно является прямой суммой одномерных представлений, т.е. существует базис, в котором матрицы записывается в диагональном виде , т.к. любые такие матрицы коммутируют, то , но это не верно. Получили противоречие с предположением о существовании инвариантного подпространства, следовательно оного не существует и представление неприводимо.
Упражнение. Докажите, что рассмотренные нами в начале лекции два трехмерных представления группы не эквивалентны и оба неприводимы.
Теорема. Любое неприводимое конечномерное комплексное представление абелевой группы одномерно.
Доказательство.
Пусть задано представление . Пусть , тогда имеет собственное значение и собственный вектор . Тогда подпространство собственных векторов ненулевое. Более того, докажем, что оно инвариантно относительно всех операторов :
Возьмем и , пусть , тогда , следовательно - снова собственный вектор и подпространство инвариантно.
Т.е. , т.к. представление неприводимо и отлично от нуля. Т.е. . Возьмем произвольный и - это инвариантное подпространство, следовательно - одномерно.
Теорема. Число неэквивалентным неприводимых комплексных представлений конечной абелевой группы равно ее порядку.
Доказательство.
Возьмем произвольную абелевую группу , тогда . Если переходит в , то переходит в , т.е. должен переходит в корень степени из единицы. Для каждого существует столько вариантов, какой его порядок, комбинируя из все, получим что всего существует столько вариантов, каков порядок группы.
Примеры:
1) , всего существует 4 неприводимых комплексных представления, напишем их в табличке:
(здесь в таблице стоит то, во что переходит элемент из столбца при представлении из строки).
2) - опять будет 4 представления:
3) , всего будет 2 представления:
Одномерное представление - это гомоморфизм . Опишем все такие гомоморфизмы. Т.к. , то - абелевая группа. Следовательно, ядро этого гомоморфизма должно содержать коммутант группы, т.е. . По заданному гомоморфизму , мы можем рассмотреть гомоморфизм , действующий по правилу: . И обратно, если задан гомоморфизм , мы можем рассмотреть гомоморфизм , являющийся композицией естественного гомоморфизма и гомоморфизма . Таким образом, мы можем отождествить гомоморфизмы и гомоморфизмы .
Примеры:
1) , , - группа порядка 2, . У нее существует всего два представления: и . Т.е. у группы существует всего два одномерных представления: и .
2) , , если - нечетно и , если - четно.
Если - нечетно. Имеем , существует два представления: и (, ).
Если - четно. Имеем , существуют четыре представления ( и ).
Теорема. Любое неприводимое комплексное представление группы имеет размерность .
Доказательство.
Пусть - пространство представлений. Пусть , рассмотрим - конечномерно. Если , то . Следовательно, - инвариантное подпространство, т.е. в силу неприводимости представления , следовательно, конечномерно.
Оператор имеет собственные вектор , такой что . Обозначим , покажем, что - инвариантно. Имеем, и . Следовательно, - инвариантно и в силу неприводимости представления , следовательно, .
Если , , то матрица представления группы имеет вид , . Т.к. , то , т.е. - это корень степени из .
Вернемся к представлениям группы . Пусть , т.е. и характеристика поля взаимнопросты. Рассмотрим пространство с базисом , тогда - это представление. Выделим два подпространства: и . Они инвариантны.
Упражнение. Докажите, что (здесь важно, что ).
Теорема. Если , то