Пусть дана непрерывная неотрицательная функция .
Определение. Плоская фигура, ограниченная сверху графиком функции
, снизу – отрезком оси Ох, слева и справа прямы-
ми , параллельными оси Оу, называется криволи-
нейной трапецией (рис. 1).
Рис. 1
Напомним, что при вычислении площади круга в школьном курсе математики поступают следующим образом: рассматривают вписанные и описанные правильные многоугольники с увеличивающимся числом сторон и вычисляют их площадь, а затем принимают за площадь круга предел площадей этих многоугольников. По сути, этот метод, используемый еще со времен Архимеда и известный как «методом исчерпывания», применим и в данной ситуации.
Для нахождения площади криволинейной трапеции разобьем отрезок произвольным образом на n частей точками :
(рис. 2).
Рис. 2
Обозначим длины частичных отрезков через :
При этом вся криволинейная трапеция разбивается на n «малых» трапеций с основаниями и площадями .
Тогда площадь всей криволинейной трапеции будет равна:
.
Выберем на каждом из частичных отрезков произвольным образом точку и вычислим значения функции в ней, т.е. .
Заменим площадь каждой «малой» криволинейной трапеции на площадь соответствующего прямоугольника с основанием, равным длине частичного отрезка, и высотой, равной значению функции в выбранной на этом отрезке точке. Тогда площадь i-го прямоугольника равна , а сумма всех таких произведений
(8) равна площади ступенчатой фигуры и приближенно равна площади S криволинейной трапеции:
. (9)
С уменьшением всех величин точность приближения криволинейной трапеции ступенчатой фигурой и точность полученной формулы увеличиваются. Поэтому за точное значение площади S криволинейной трапеции принимается предел S, к которому стремится площадь ступенчатой фигуры , когда n неограниченно возрастает или наибольшая длина частичных отрезков стремится к нулю:
, (10)
где .
Этот предел должен существовать и не зависеть ни от способа разбиения отрезка на части, ни от выбора промежуточных точек .