Решение уравнения у¢+Р(x)у=Q(x) ищется в следующей последовательности:
Составим вспомогательное ЛОДУ−I у¢+Р(x)у=0 и решим его как уравнение с разделяющимися переменными. То есть получим, что у=f(x)+C, где С=const – общее решение вспомогательного уравнения.
Теперь будем искать общее решение заданного уравнения в виде у=f(x)+C(х), где С(х) – некоторая теперь функция от х.
Найдём производную полученного выражения у¢ и подставим у и у¢ в заданное уравнение из которого выразим неизвестную функцию С(х) (заметим, что при данной подстановки два слагаемых в уравнении обязательно взаимно уничтожатся).
Подставим найденную функцию С(х) в общее решение заданного уравнения.
.Линейные дифференциальные уравнения
второго порядка (ЛДУ−II)
ЛДУ−II называется уравнение вида: у²+Р(x)у¢+Q(x)у=R(x), где функции Р(х), Q(x), R(x) не зависят от х.
Если R(x)=0, то уравнение называется уравнением без правой части или однородным ЛОДУ−II.
Если R(x)≠0, то уравнение называется уравнением с правой части или неоднородным ЛНДУ−II.