Пусть функция дифференцируема в точке и При отображении вектор исходящий из точки переходит в бесконечно малый вектор исходящий из точки а гладкая кривая переходит в гладкую кривую (см. рис. 8). Поскольку то выполняются одновременно следующие соотношения:
Отсюда следует, что с точностью до выполняются равенства
Эти равенства позволяют сделать следующие выводы (геометрический смысл модуля и аргумента производной ):
Эти равенства позволяют сделать следующие выводы (геометрический смысл модуля и аргумента производной ):
а) модуль равен коэффициенту растяжения (сжатия) бесконечно малого вектора исходящего из точки при отображении
б) аргумент равен углу поворота бесконечно малого вектора исходящего из точки при отображении
Эти утверждения верны для произвольного бесконечно малого вектора исходящего из точки причем утверждение б) будет верно для любых гладких кривых исходящих из точки (в этом случае вектор касается кривой в точке ). Если и две гладкие кривые, исходящие из точки то из утверждения б) следует, что при отображении они развернутся на один и тот же угол, т.е. угол между кривыми и при отображении сохраняется. Более того, сохраняется и направление этого угла. Исходя из сказанного, вводят следующее понятие.
Определение 4. Отображение окрестности точки на окрестность точки называется конформным, если оно обладает постоянством растяжения (сжатия) бесконечно малых элементов и сохранением углов и их направлением между любыми двумя гладкими кривыми Отображение называется конформным в области , если оно конформно в каждой точке области и если функция является аналитической и однолистной в области .
Теорема 2. Пусть функция -- однолистная и аналитическая в области и в каждой точке области . Тогда отображение будет конформным в области .
Доказательство этого утверждения вытекает из геометрического смысла производной и ее аргумента. Например, главная ветвь логарифма является конформным отображением области } на область Конформные отображения играют важную роль в прикладных науках. Однако подробное их изучение в нашем курсе не предусмотрено программой. Читателю, заинтересованному в более детальном ознакомлении с теорией конформных отображений, рекомендуем книгу Б.А. Фукса и Б.В. Шабата ``Функции комплексного переменного и некоторые их приложения'' (ГИФМЛ, Москва, 1959) .
Лекция 7. Интеграл от функции комплексного переменного. Теорема Коши и для односвязной и многосвязной областей. Интегральная формула Коши. Существование всех производных для аналитической функции
Везде ниже, если не оговорено противное, функция предполагается однозначной в своей области определения. Пусть в плоскости задана некоторая ориентированная кривая ( начало, конец). Каждой точке плоскости соответствует единственное комплексное число (и обратно), поэтому будем отождествлять точку и соответствующее комплексное число и будем писать Пусть функция определена на кривой . Разобьём кривую на частичные дуги точками в направлении ориентации кривой:
Возьмём произвольно точку и составим интегральную сумму
Обозначим диаметр разбиения .
Определение 1. Если существует конечный предел интегральных сумм:
и он не зависит от вида разбиения и выбора точек , то его называют
интегралом от функции вдоль кривой (дуги) и обозначают При этом функцию называется интегрируемой на кривой .
Сразу же отметим свойство ориентированности этого интеграла:
которое вытекает из того, что при ориентации кривой от до вектор заменяется на вектор Кроме того, интеграл от комплексной функции, очевидно, обладает свойствами линейности и аддитивности, которые мы не выписываем. Следующее утверждение позволяет свести комплексный интеграл к двум действительным криволинейным интегралам.
Теорема 1. Пусть ограниченная дуга } кусочно-гладка и лежит в области определения функии . Пусть, кроме того, непрерывна на дуге } . Тогда имеет место равенство
Доказательство. Преобразуем в интегральной сумме (1) слагаемое :
Тогда интегральная сумма в равенсте (1) примет вид
Здесь действительная часть является интегральной суммой для криволинейного интеграла
, а мнимая часть – интегральной суммой для криволинейного интеграла . Так как функция непрерывна на дуге то на этой дуге непрерывны ее действительная часть и мнимая часть поэтому указанные криволинейные действительные интегралы существуют. Переходя к пределу в равенстве (7) при получаем равенство (2). Теорема доказана.
Из этой теоремы вытекают свойства линейности, аддитивности и другие свойства комплексного интеграла. В частности, справедлива теорема об оценке интеграла.
Теорема 2. Если функция непрерывна на кусочно-гладкой ограниченной кривой то имеет место неравенство
где -- длина дуги
Из теоремы 1 вытекает также следующее утверждение.
Теорема 3. Пусть дуга задана параметрически уравнением
причем функция непрерывна на отрезке и дуга ориентирована по возрастанию параметра (т.е. -- начало, конец дуги ). Пусть, кроме того, функция непрерывна на дуге .Тогда имеет место равенство
В качестве примера вычислим интеграл, имеющий широкое применение в дальнейшей теории интеграл Покажем, что
Имеем
Если то Если то
Равенство доказано.