Ниже везде, если не оговорено противное, все функции считаются однозначными. Кроме того, запись автоматически предполагает, что и – действительные величины.
Ниже везде, если не оговорено противное, все функции считаются однозначными. Кроме того, запись автоматически предполагает, что и -- действительные величины.
Определение 8. Число называется пределом функции в точке (или при ), если
При этом пишут:
Геометрическая иллюстрация предела дана на рис. 6. Так же, как для действительных функций двух переменных, здесь действует правило: Так же, как для действительных функций двух переменных, здесь действует правило: если предел существует,то он не должен зависеть от того, по какому пути текущая точка стремится к предельной точке Если найдутся два различных пути, по которым функция имеет различные пределы, то не существует.
Из определения 8 вытекают следующие утверждения:
(если
Заметим, что для числа аргумент не определён (удобно считать, что он произвольный), поэтому произвольный.
Поскольку определение предела функции комплексного переменного дословно повторяет аналогичное определение функции действительного переменного, то для комплексных функций справедливы все теоремы о пределах (о пределе суммы, произведения, частного и т.д.), сформулированные ранее для действительных функций. Нет нужды повторять их. Отметим только, что здесь аналогичным образом вводятся классы
для которых справедливы те же свойства, что и действительных классов. Например,
Справедлива также таблица эквивалентных бесконечно малых, которую мы напомним в соответствующем месте.
Определение 9. Функция называется непрерывной в точке если:
а) определена в точке и некоторой её окрестности;
б)
Из свойства 1 вытекает, что функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда одновременно непрерывны в точке её действительная часть и мнимая часть Таким образом, непрерывность в комплексном анализе аналогична непрерывности в действительном анализе, а значит, и там и там свойства непрерывных функций аналогичны друг другу. Например, если функция непрерывна в замкнутой ограниченной области то она ограничена в
В заключение приведем определения и свойства основных элементарных функций комплексного переменного. Некоторые из этих свойств будут обоснованы в следующей лекции.
1. Показательная функция определяется следующим образом:
Она обладает следующими свойствами:
10) Область определения показательной функции -- все множество
20) Модуль и аргумент показательной функции. Из формулы (2) находим, что , поэтому
30) Область значений показательной функции все множество , кроме нуля, т.к.
40)
50) т.е. показательная функция периодическая с основным периодом, равным .
60) -- формула Эйлера.
2. Тригонометрические функции и . Они определяются следующим образом:
Имеют место формулы
Эти функции обладают следующими свойствами:
70) Тригонометрические функции и определены для
90) ,
Из основного тригонометрического тождества и теорем сложения можно получить обычные тригонометрические формулы: формулы приведения, синус и косинус кратного аргумента, формулы понижения степени и т.д. Отметим, что и могут быть не ограниченными.
110) Функции являются периодическими с периодом .
3. Тригонометрические функции и определяются равенствами
Для них также сохраняются свойства "действительной" тригонометрии.
4. Гиперболические функции определяются равенствами:
Между тригонометрическими и гиперболическими функциями устанавливается связь:
Справедливо также соотношение
5. Логарифмическая функция -- комплекснозначный логарифм -- определяется как функция, обратная к показательной . Покажем, что
Пусть Имеем
Значит, т.е. имеет место формула (3).
Логарифм является бесконечнозначной функцией. Вводится понятие главного значения (однозначной ветви) логарифма: Справедливы соотношения:
Эти равенства следует понимать как равенства между множествами.
Заметим, что если положительное действительное число, то
В этом случае логарифмическая функция принимает бесконечное множество значений, одно из которых при действительно, т.е. главное значение логарифма совпадает с логарифмической функцией действительного аргумента.
6. Обратные тригонометрические функции определяются как решения соответствующих уравнений (например, функция есть обратная по отношению к , т.е. это решение уравнения и т.д.) Все эти функции бесконечнозначны и выражаются через логарифмические функции:
7.Обратные гиперболические функции вычисляются по формулам:
8. Степенная функция определяется по формуле
-- комплексные числа).
9. Показательная функция . По определению полагаем
Из представления видно, что эта функция представляет собой совокупность отдельных ветвей, отличающихся друг от друга множителем .