Вывод дифференциального уравнения объекта.
В качестве объекта регулирования рассмотрим главный судовой дизель с прямой передачей мощности на гребной винт регулируемого шага. Регулируемая величина – частота вращения гребного вала, изменение которой может происходить вследствие изменения момента движущих сил Мд, развиваемого двигателем, и момента сил сопротивления Мс со стороны винта. Исходным уравнением, отражающим физические процессы в рассматриваемом объекте, является уравнение неустановившегося вращательного движения
, (3.1)
где w - частота вращения вала,I-момент инерции подвижных элементов системы, приведенный к валу, t – время.
Рассмотрим установившийся режим, характеризующийся равенством момента движущих сил и момента сил сопротивления. Здесь и в дальнейшем нулевыми индексами будем сопровождать величины, относящиеся к исходному установившемуся режиму.
М д 0 = М с 0 ,
следовательно, w0 = const. На рис.3.1 показаны скоростные характеристики: одна из частичных М д и одна из винтовых М с. Точка их пересечения соответствует установившемуся режиму ( точка А).
A
Mд , Mс
ω0
ω
Рис. 3.1. Скоростные характеристики главного
судового двигателя
Перейдём к неустановившемуся режиму. Он возникает при небалансе между подводом и отводом энергии, то есть когда Мд ¹ Мс и, следовательно, частота вращения изменяется во времени: w = var.
Переменные частоту вращения и моменты можно представить в виде сумм их значений на установившемся режиме и приращений:
М д = М д 0 +DМ д; ; М с = М с 0 + DМ с ; w = w 0 +Dw.
Момент движущих сил является функцией частоты вращения и положения рейки топливных насосов S, а момент сил сопротивления – функцией частоты вращения, относительной поступи гребного винта l и его шагового отношения h = H/D:
М д = f (w, S); М с = f (w, l, h). (3.2)
Точные аналитические выражения для этих функций не существуют. Поэтому стремятся использовать приближённые математические описания. Для подобных целей широко применяется метод малых отклонений, существо которого заключается в следующем.
По самой задаче автоматического регулирования отклонения регулируемой величины от заданного её значения должны быть малы. Поскольку рассматриваемые функции могут быть представлены в виде рядов Тейлора
Mд=Mдo+ , (3.3)
можно пренебречь старшими членами рядов, содержащими приращения переменных в степенях выше первой, и тогда мы приходим к линейному математическому описанию:
, (3.4)
. (3.5)
В этих формулах частные производные представляют собою тангенсы углов наклона касательных к соответствующим характеристикам в точке установившегося режима, и они могут быть определены соответствующей обработкой скоростных характеристик конкретного двигателя.
Примем также во внимание, что, поскольку w 0 = const.,
(3.6)
Подставим (3.4), (3.5) и (3.6) в уравнение (3.1). После переноса всех членов, содержащих Dw, в левую часть получаемого уравнения оно примет вид
. (3.7)
Разделив на выражение в квадратных скобках и приняв обозначения
(3.8)
получим дифференциальное уравнение объекта регулирования в приращениях и в размерной форме записи:
. (3.9)
В автоматике часто применяется безразмерная (относительная) форма записи, при которой изменения переменных рассматриваются по отношению к значениям этих переменных на установившемся режиме. Обычно это исходный установившийся режим. Введя обозначения
(3.10)
где, кроме уже известных величин, S0 ,l0 ,h0 – значения положения рейки, относительной поступи и шагового отношения на исходном установившемся режиме, и выполнив нижеприведенные преобразования, получим дифференциальное уравнение объекта регулирования в приращениях и в безразмерной форме записи:
. (3.11)
Коэффициенты этого уравнения kx, kz1 и kz2 называются соответственно коэффициентом усиления (иногда коэффициентом передачи) объекта по регулирующему воздействию и коэффициентaми усиления по возмущениям. Это величины безразмерные. Коэффициент Т имеет размерность единиц времени и называется постоянной времени объекта. Для небольших отклонений от установившегося значения частоты вращения (плюс-минус 5%, например) эти коэффициенты можно с достаточной степенью точности считать постоянными. Для режимов же, далеко отстоящих один от другого, их следует определять каждый раз заново. Заметим, что при работе двигателя на винт фиксированного шага возмущение z2 отсутствует.
Решение уравнения объекта регулирования.
Целью решения является определение закона изменения регулируемой величины y(t) при известных x(t), z1(t), z2(t). Физически это эквивалентно нахождению процесса изменения частоты вращения вала во времени, если известны процессы изменения во времени положения рейки топливных насосов, относительной поступи винта и шагового отношения.
Мы имеем дело с линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка. Для всех систем, описывающихся линейными дифференциальными уравнениями, справедлив принцип суперпозиции, согласно которому общий эффект от действия на систему суммы нескольких факторов равен сумме эффектов, вызываемых каждым отдельным фактором. Применительно к нашему объекту это означает, что можно рассмотреть изменение регулируемой величины под влиянием каждого из возмущений раздельно, а затем полученные результаты алгебраически сложить. Поэтому будем рассматривать уравнение
, (3.12)
где для простоты индекс при коэффициенте опущен.
Решение этого уравнения ищется в виде
,
где - общее решение соответствующего однородного уравнения
,
- частное решение уравнения (3.12) .
В качестве частного решения обычно интересуются новым установившимся значением регулируемой величины, то есть тем, которое она примет по окончании переходного процесса, вызванного воздействием в данном случае x. Примем, что закон изменения x – скачкообразный:
t < 0, x = 0, t ³ 0, x = x 0 =const.
В нашем случае это соответствует мгновенному изменению относительного положения рейки топливоподачи на величину x0. Таким образом, условия нового установившегося режима выглядят так:
x = x0; (3.13)
Подставив эти условия в уравнение (3.12), получим
y = kx 0.
Общее решение однородного уравнения ищется в форме
,
где C – постоянная интегрирования, p – корень характеристического уравнения
Таким образом,
(3.14)
Постоянная интегрирования определяется на основании начальных условий. Обычно в качестве таковых задаются условиями исходного установившегося режима, когда ещё не было изменения регулируемой величины, и они выглядят так:
t = 0, y=0.
Подставив начальные условия в уравнение (3.14), получим
,
и окончательно
. (3.15)
График переходного процесса.
На рис.3.2 представлен график переходного процесса. Здесь ЛНУР – линия нового установившегося режима. Очевидно, что она является асимптотой для кривой - графика переходного процесса. Эта кривая (в математике она имеет специальное название – экспонента) обладает следующим свойством: отрезок, отсекаемый на ЛНУР касательной к экспоненте в какой-либо точке и перпендикуляром из этой точки, численно равен постоянной времени. Тогда можно дать толкование физическому смыслу постоянной времени, если рассмотреть такое построение из начала координат.
Постоянная времени – это время, за которое регулируемая величина достигла бы значения, соответствующего новому установившемуся режиму, если бы она изменялась с постоянной скоростью, равной начальной скорости её изменения.
tпп
T
T
ЛНУР
t
y
Рис.3.2. График переходного процесса в объекте регулирования
и постоянная времени.
Продолжительность переходного процесса
в объекте регулирования.
Теоретически для любого объекта выход регулируемой величины на новое установившееся значение продолжается бесконечно долго. На практике же можно встретить объекты, в которых переходный процесс происходит быстрее или медленнее. В автоматике широко применяется инженерное понятие продолжительности переходного процесса. Это такое время tпп, за которое регулируемая величина становится достаточно близкой к своему установившемуся значению (рис.3.2):
. (3.16)
Здесь величина n близка к единице и характеризует точность приближения к установившемуся режиму.
Подставив (3.16) в (3.15) и выполнив упрощение, получим
.
После логарифмирования обнаруживается связь между временем переходного процесса и постоянной времени:
. (3.17)
Часто считают переходный процесс практически окончившимся, когда регулируемая величина достигает 95% от нового установившегося значения, то есть принимают n = 0, 95. При этом оказывается, что
tпп @ 3Т.
Приведём практически встречающиеся значения постоянных времени судовых объектов регулирования, которые в первом приближении могут быть описаны уравнением типа (3.9).
Судовые главные дизели – около 1 секунды.
Газотурбонагнетатели – несколько секунд.
Дизельгенераторы – 3…4 секунды.
Судовые паровые котлы – 10…15 минут.
Судно относительно изменения его скорости – 1…5 минут.
Различные теплообменные аппараты – минуты.
Электродвигатели – около 1 секунды.